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C++判断一个点是否在指定三角形内(1)

问题:判断点P是否在三角形ABC内

判断一个点是否在在三角形内,最常用的两种方法:面积法、向量同向法。算法虽然很简单,但要做到高效却不容易,要考虑到二维、三维的区别,还要考虑到坐标是用浮点数还是用整数来表示。

在二维平面上,问题相对简单,一般只需6次乘法计算。但在三维平面时问题要复杂很多,在网上看到的算法,一般都需要30次乘法计算(如果已知点P在平面ABC上,则需21次)。实际上,在三维坐标系下,可以做到增加1次比较,将乘法计算降到13次(如果点P在平面ABC上,则最多只要8次乘法计算)。

最常用的两种方法:面积法和向量同向法本质上是等价的。

向量同向法:若点P在三角形内,则三个向量:ab × ap、ap × ac、pb × pc平行同向(它们也与向量ab × ac平行同向),由于这三个向量均有可能为0,直接判断它们平行同向相当麻烦,但考虑到ab × ac不可能为0,直接判断“向量:ab × ap、ap × ac、pb × pc均与ab × ac平行同向”反而更简单。

面积法:当点p在三角形abc内时,4个三角形的面积满足: abc= abp + apc + pbc

对面积的计算,可以通过向量的向量积计算得到: 面积 abc= |ab × ac| / 2

表面上,要计算4个三角形的面积,但根据下面的公式:

ap × ap = 0,pb × pc = (ab - ap) × (ac - ap) = ab × ac - ab × ap - ap × ac

可以少算一次矢量积。

公式: |ab × ac| = |ab × ap| + |ap × ac| + |(ab × ac - ab × ap - ap × ac)|

对任意向量a、b、c: |a + b + c| = |a| + |b| + |c|<==>向量a、b、c 平行同向

因而,面积法和向量同向法本质上是等价的。

下面先讨论二维坐标系(每个点X,都看作是原点O到该点X的二维向量OX)。

先定义一个二维向量模板:

template<typename T> class Vec2 {

T x, y;

public:

typedef T value_type;

Vec2(T xx = 0, T yy = 0) : x(xx), y(yy) {};

T cross(const Vec2& v) const { return x * v.y - y * v.x;}// 矢量积

Vec2 operator-(const Vec2& v) const { return Vec2(x - v.x, y - v.y); }

};

如果坐标采用浮点数,考虑到浮点数取绝对值方便(有专门的浮点指令),但彼此间比较大小存在误差,采用面积法比较方便:

typedef Vec2<double> Vd2;

bool is_in_triangle(const Vd2& a, const Vd2& b, const Vd2& c, const Vd2& p)

{

Vd2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);

//用矢量积计算面积,下面4个值的绝对值,是对应的三角形的面积的两倍,

double abc = ab.cross(ac);

double abp = ab.cross(ap);

double apc = ap.cross(ac);

double pbc = abc - abp - apc; //等于pb.cross(pc)

//面积法:4个三角形的面积差 等于 0

double delta = fabs(abc) - fabs(abp) - fabs(apc) - fabs(pbc);

return fabs(delta) < DBL_EPSILON;

}

如果坐标采用整数表示,代码相对麻烦点:

 

typedef Vec2<int> Vi2;

bool is_in_triangle(const Vi2& a, const Vi2& b, const Vi2& c, const Vi2& p)

{

Vi2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);

//用矢量积计算面积,下面4个值的绝对值,是对应的三角形的面积的两倍,

int abc = ab.cross(ac);

int abp = ab.cross(ap);

int apc = ap.cross(ac);

int pbc = abc - abp - apc; //等于pb.cross(pc)

//方法1: 面积法:4个三角形的面积差 等于 0

return abs(abc) == abs(abp) + abs(apc) + abs(pbc)

//方法2: 矢量同向法: abp apc pbc 均与 abc 同向:

if (abc < 0) { abp = -abp; apc = -apc; pbc = -pbc; }

return (abp >= 0) & (apc >= 0) & (pbc >= 0);

}

方法1:要计算4次绝对值,看似需要4次条件跳转,但主流的编译器,都能采用位运算直接计算绝对值(注意:GCC需要加额外的参数),不需要任何条件跳转。

方法2:比方法1指令少,但多1次条件跳转。

哪种方法效率较高,与编译器生成的具体代码有关。

上面代码中,可采用的两种优化方法:

① 对整数x取绝对值,可以利用位运算:

设y = 0 (当x >= 0)

= -1 (当x < 0)

(编译器可以利用cdq或sar等指令直接由x计算出y值)

则abs(x) = (x xor y) – y

或: =(x + y) xor y

或: =x – (2 * x & y)

② 对整数a、b、c,a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 等价于

(a >= 0) & (b >= 0) & (c >= 0) 等价于:

(a | b | c) >= 0

为避免编译器没有进行相关优化,直接手动优化,可得:

inline int chg_sign(int x, int sign) //sign只能取0或-1,函数分别返回x、-x

{

return (x + sign) ^ sign;

//return (x ^ sign) - sign;

}

bool is_in_triangle(const Vi2& a, const Vi2& b, const Vi2& c, const Vi2& p)

{

Vi2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);

//用矢量积计算面积,下面4个值的绝对值,是对应的三角形的面积的两倍,

int abc = ab.cross(ac);

int abp = ab.cross(ap);

int apc = ap.cross(ac);

int pbc = abc - abp - apc; //等于pb.cross(pc)

//方法3: 矢量同向法(优化版)

const int sign = (abc >= 0) - 1;

//const int sign = abc >> (sizeof(abc) * CHAR_BIT - 1);

return (chg_sign(abp, sign) | chg_sign(apc, sign) | chg_sign(pbc, sign)) >= 0;

}

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